Определение. Будем говорить, что для точек множества S имеет место управляемость в конусе К, если для любой точки этого множества существует кусочно-непрерывное во времени управление, которое переводит процесс в вершину конуса за конечное время, и движение в течение этого времени не покидает К. Если S = К, то будем говорить, что процесс глобально управляем.[ ...]
Данное ограничение приводит к существенному сужению класса допустимых управлений. В общем случае оказывается, что количество независимых регуляторов не должно быть меньше, чем число степеней свободы системы. В качестве иллюстрации рассмотрим пример.[ ...]
Теорема 3.1.11, Если матрица B l (i) имеет неотрицательные элементы при всех i > 0, то процесс (3.1.7) глобально управляем.[ ...]
Тогда Xj (i) < — 1 при / G / и X (i) = 0 при i G I и t > 0. Следовательно, найдется конечный момент времени, при котором хотя бы одна компонента вектора X(t) с номером из множества J станет равной нулю. Продолжая рассуждения по индукции, завершаем доказательство теоремы.[ ...]
Следствие. Если матрица —B t) квазиположительна и является гурви-цевой при. всех i > 0, то процесс (3.1.7) глобально управляем.[ ...]
В этом случае, когда управление ограничено по величине, получаем результат, аналогичный теореме 3.1.7.[ ...]
Теорема 3.1.12. Пусть правые части системы (3.1.7) не зависят от времени F(0) = 0 и выполнено условие теоремы 3.1.11. Если С/ < 1, то управляемость в конусе имеет место для всех точек малой окрестности начала координат.[ ...]
Доказательство. Легко видеть, что управление, построенное при доказательстве теоремы 3.1.11, ограничено на каждом ограниченном множестве. Отсюда следует локальная управляемость. Пусть оператор F(X) имеет вид (3.1.6) и Х(4,) <0 (/ = 1,..., s). Зададим управление в виде U(X) = —еВ 1Х, где е берется настолько малым, что в начальный момент времени eB 1 Х < 1. Тогда X(?) -> 0 при ? ->°°. Достаточность доказана.[ ...]
Теорема 3.1.13. Если X < 0, то процесс (3.1.8) глобально управляем.[ ...]
Вернуться к оглавлению