Определение. Множество точек, из которых решение можно перевести в начало координат за конечное время с помощью допустимых управлений, будем называть множеством достижимости.[ ...]
При ограничении на знак управления и отсутствии каких-либо ограничений на знак матриц А и В множество точек, для которых начало координат достижимо, образует выпуклый конус [14]. Условие телесности этого конуса [12, 18], т.е. наличия в нем внутренних точек, сводится к управляемости пары (А, В) по Калману [14].[ ...]
Теорема 3.1.1. Для того чтобы множество достижимости системы (3.1.2) содержало внутренние точки, необходимо и достаточно, чтобы rank (А, В) = = т [29].[ ...]
Таким образом, управляемость по Калману гарантирует, что множество достижимости не является пренебрежимым (множеством нулевой меры), и в дальнейшем всегда будет предполагаться выполненной.[ ...]
Теорема 3.1.2. Предположим, что гапк(Л, В) = т. Для того чтобы начало координат было достижимо для любой точки из Rm, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (3.1.3) и (3.1.5) [26].[ ...]
Следствие. Если гапк(Л, В) = т, матрица А неразложима и все ее собственные значения, отличные от X С4 ), имеют ненулевую мнимую часть, то множество достижимости начала координат содержит R ™.[ ...]
Полученный результат имеет следующий биологический смысл. Рассмотрим всевозможные скалярные функции вектора состояний системы. Среди них имеются такие, которые при нулевом управлении сохраняют знак во все моменты времени. Пусть набор управлений настолько богат, что они способны менять знак любой такой функции, за исключением той, которая задает средневзвешенную численность экологической системы. Пусть с помощью доступных управлений средневзвешенная численность может за конечное время быть обращена в нуль. В этом случае любое решение, имеющее в начальный момент времени неотрицательные компоненты, может за конечное время быть переведено в состояние равновесия. Следовательно, для такой экологической системы задача максимального быстродействия или любая другая эквивалентная ей задача имеет решение.[ ...]
Если биологическая система разложима, то при обнулении компонент, соответствующих некоторому количеству первых блоков, т-.е. при X; = = 0 е./?"1 и и1 = 0 £ЯР‘ (г = 1,. . ., ¿7 <х), эти компоненты остаются нулевыми во все оставшиеся моменты времени. Таким образом, разложимая система имеет по крайней мере х (считая Ят) инвариантных подпространств.[ ...]
Для исследования разложимых систем введем некоторые дополнительные понятия.[ ...]
Интересный пример разложимости представляет модель динамики численности популяции микроорганизмов при многоступенчатом культивировании. Обращаясь к системе (1.2.4), получаем, что диагональные матрицы в формуле (3.1.6) имеют вид А0 - v,-I (i=l,...,s), где А0 задается выражением (1.2.2) или (1.2.3), а ненулевые подпиагональные матрицы имеют вид Ai+l ,• = м;/.[ ...]
Вернуться к оглавлению