Пусть динамика численности эксплуатируемой экосистемы зависит от п лимитирующих факторов, оказывающих совокупное влияние на нее так, что нельзя выделить главный или ведущий фактор. Обозначим через х,-величину г-го лимитирующего фактора. По аналогии с предыдущим считаем, что эта величина определяется размерами экологической системы по формуле х,- = у;(Х), где функции ц>;(Х) (г = 1, ..., п) монотонны и положительно однородны, т.е. Ц>;(Х) < у,-(У) при X < У (г = 1, ..., п) и 1р,-(аХ) = ац> (Х) при а > 0 (г = 1, ..., и). Введем в рассмотрение вектор 5 = (х!, ..., х„) . Скорость воспроизводства экологической системы определяется функцией /7(ЛГ, £). Эта функция при каждом фиксированном 5 > 0 как функция первого аргумента по-прежнему задает динамическую систему с инвариантным положительным конусом, квазимонотонна, положительно однородна и при 5, принадлежащем порядковому интервалу О < 5 < 5 , где 5 — вектор, имеющий либо положительные, либо бесконечные компоненты, неразложима (см. п. 2.1.2). Если величина хотя бы одного лимитирующего фактора больше критического, то экологическая система теряет способность к воспроизводству, т.е. при каждом фиксированном 5 все решения дифференциального уравнения X = /7(ЛГ, 5), начинающиеся в положительном конусе, ограничены и не выходят из этого конуса.[ ...]
Сформулируем теперь теоремы о стационарных решениях.[ ...]
Доказательство состоит в дословном повторении рассуждений теоремы 2.1.1 с заменой скалярной величины лимитирующего фактора на векторную.[ ...]
Содержательная трактовка условия (2.1.28) в точности совпадает с трактовкой условия (2.1.10). Требуется, чтобы при отсутствии лимитирования асимптотическая скорость воспроизводства превосходила скорость изъятия. Нарушение этого условия приводит к тому, что экологическая система вырождается и единственным стационарным решением оказывается нулевой вектор состояния.[ ...]
При многофакторном лимитировании не выполняется свойство единственности стационарного решения системы (2.1.27). Для доказательства существования этого решения требуется определить дополнительное свойство функции, связывающей уровень лимитирования с численностью экологической системы. Оно состоит в том, что набор лимитирующих факторов представлен в модели достаточно полно. Другими словами, это означает, что каждая компонента экологической системы влияет на величину одного или нескольких лимитирующих факторов. В связи с этим в дальнейшем будем предполагать, что при ограниченных значениях лимитирующих факторов численность популяции или сообщества ограничена, т.е. Хе/?™ Ф( ) < 1 — ограниченное множество.[ ...]
Теорема 2.1.20. Если выполнено неравенство (2.1.28), то при каждом фиксированном 0 < у < Х0 существует стационарное решение уравнения (2.1.27) со строго положительными компонентами. Если, кроме того, Х < 0 при некотором 5 < , то нетривиальное решение существует при V = 0.[ ...]
Воспользуемся этой теоремой. В силу условия (2.1.28) собственное значение оператора Р+ (■ , 0) больше единицы. Поэтому, рассуждая от противного и строя в некоторой малой окрестности начала координат миноранту для этого оператора, не зависящую от 5, легко показать, что О — изгоняющая неподвижная точка. Очевидно, что Ф (X) 5, на границе шара М и, следовательно, все собственные значения оператора Р+ (X, Ф.(Х)) при X, принадлежащих границе М, меньше единицы. По цитированной теореме существует неподвижная точка Ху Ф 0 оператора Р (X, Ф.(Х)), лежащая внутри шара М.[ ...]
Перейдем к рассмотрению условий устойчивости стационарных решений моделей (2.1.27) и (2.1.29).[ ...]
Вернуться к оглавлению