Здесь мы более подробно остановимся на математических вопросах, связанных с описанием периодических бегущих волн, ’’волновых пакетов” или ’’волновых поездов”. Ранее, в § 8 гл. II в системах ’’возобновимый ресурс — потребитель” мы уже встречались с этим явлением. Естественно предположить, что периодически бегущие волны будут встречаться и в более сложных распределениях по пространству биологических сообществ. В своем изложении будем следовать известным работам Н. Коппель и Л. Ховарда, но не дословно, сохраняя лишь их общую идею.[ ...]
Б — матрица размера иХис постоянными элементами Бц, которая считается симметрической и положительно определенной.[ ...]
Задача о плоских автомодельных волнах может ставиться как задача о нахождении 2я-периодических решений (5.4) или периодических с некоторым периодом Т для (5.5). В этом параграфе будем рассматривать только волны малой амплитуды.[ ...]
Пусть = II ЭF/д.Лf 11 . = 0 — матрица линеаризованной (в окрестности нуля) системы (5.1) (матрица Якоби). Предположим, что положение равновесия М =0 является фокусом для (5.1), т.е. среди собственных значений М есть два комплексно сопряженных вида р± /<7, где рд > 0.[ ...]
Здесь/ — единичная матрица.[ ...]
Для того чтобы использовать бифуркационную теорему Андронова—Хопфа о рождении предельных циклов при. потере устойчивости фокуса, необходимо выяснить, существуют ли такие значения параметра 0, при которых уравнение (5.7) имеет пару чисто мнимых корней. Далее для простоты ограничимся случаем п= 2. Но даже в этом случае уравнение (5.7) — это уравнение четвертого порядка, которое сложно исследовать. Поэтому используем следующий прием.[ ...]
Покажем, что существует лишь одно значение у, при котором спектр матрицы Му будет чисто мнимым.[ ...]
Последние условия дают нам возможность для выбора константы к. Отсюда видно, что требование бифуркационной теоремы выполняются отнюдь не для любой матрицы коэффициентов диффузии — на их величины налагаются определенные ограничения.[ ...]
Таким образом, мы получили необходимое и достаточное условие существования пары чисто мнимых собственных значений у матрицы Му для некоторого у > 0. Если же у известна (у = = 2p/spD), то из уравнения второго порядка (5.8) находим 1>2. По условию они чисто мнимые, и поэтому бифуркационное значение Р = — у/Х2 > 0. Из приведенных выше рассуждений также следует, что если для некоторого 0 такая пара существует, то она единственна, так как у по X определяется однозначно. Непосредственной проверкой можно убедиться, что эти собственные значения простые и что они трансверсально пересекают мнимую ось при изменении 0.[ ...]
Все изложенное в совокупности дает основание утверждать, что все условия теоремы Андронова — Хопфа выполнены. А отсюда сразу следует существование семейства периодических плоских волн малой амплитуды, параметризованных при помощи 0. Бифуркационное значение 0 = — у/Х2 определяет скорость распространения волны v = у/1 /0.[ ...]
Вернуться к оглавлению