В устройствах непрямого управления, используемых для стабилизации стационарного режима в культивационной системе, в отличие от устройств с непосредственным измерением численности популяции, плотность биомассы влияет на производную контролируемого параметра. Скорость разбавления задается в зависимости от этого параметра. Устройство непрямого управления будем рассматривать на примере оксистата, когда измеряется концентрация растворенного кислорода в среде. На рис. 3.2 схематически представлены основные элементы такой системы. В ферментере 1 находится раствор культуры. Измерительный элемент 4 определяет концентрацию кислорода в среде. Дозирующее устройство 5, связанное с контрольным клапаном, измеряет скорость подачи субстрата в ферментер.[ ...]
Здесь d — установленная скорость разбавления, d + w - фактическая скорость разбавления (w — управление), А — неразложимая матрица с неотрицательными недиагональными элементами, описывающая структуру раз множенияклеток культивируемой популяции, p(s,z) — удельная скорость роста биомассы. Если скалярная функция р = p(s), т.е. не зависит от z, первые два уравнения системы (3.5.1) являются частным случаем системы (1.2.1).[ ...]
Будем рассматривать динамику невырожцающейся популяции и поэтому будем считать, что (Л) >0. При записи (3.5.1) это предположение эквивалентно условию (А) = 1, которое будем считать выполненным.[ ...]
Так как величины X,s,z по смыслу могут принимать лишь неотрицательные значения, систему (3.5.1) в дальнейшем будем изучать в положительном конусе Х> 0, s > 0, z > 0 . Выясним, когда рассматриваемая система автоматического регулирования имеет стационарный режим работы.[ ...]
Необходимость. Доказательство очевидно, так как в противном случае ’’максимальное” собственное значение матрицы p(s,z)B меньше d при всех 0 [ ...]
Правая часть системы (3.5.1) при управлении (3.5.5) является разрывной, и, как будет показано в дальнейшем, не во всех точках разрыва выполнено условие правосторонней единственности решений [24]. В дальнейших рассуждениях мы будем рассматривать все решения и доказывать соответствующие утверждения для всего множества возможных решений.[ ...]
Легко убедиться в том, что sf > 0, Iv > 0 и rri > 0 в силу свойств функций р и q. Оказывается, что решения системы (3.5.1) асимптотически приближаются к решениям системы (3.5.8).[ ...]
Так как в окрестности £ = — х0 (х = 0) нет переключений управления, то выполняется интегральная непрерывность решений. Из вида системы (3.5.2) следует, что ее решения не обращаются в нуль за конечное время (исключая тривиальное решение) . Поэтому, предположив, что У (?) может стать сколь угодно малым при больших ?, выбрав достаточно близкое к нему решение системы (3.5.8) (это можно сделать в силу (3.5.10)) и воспользовавшись доказанным свойством системы (3.5.8), мы придем к противоречию. Отсюда х (?) > /3 в формуле У (?) = х (?) У, + е (?). Лемма доказана.[ ...]
Займемся теперь исследованием системы (3.5.9).[ ...]
Лемма 3.5.2.3. Если выполнены условия глобальной наблюдаемости (3.5.6), (3.5.7), то существует ограниченное положительное инвариантное множество, содержащее стационарную точку, в котором решения системы (3.5.9) определены единственным образом и непрерывно зависят от начальных условий. Функция к (£) на этом множестве не меняет знак, хотя может обращаться в нуль. За конечное время все решения системы (3.5.9) попадают в данное множество.[ ...]
Вернуться к оглавлению