Доказательству теоремы предварим лемму.[ ...]
Перейдем к доказательству теоремы. Пусть s» е [0, s ) таково, что X(s») s > а. Положим Fr = F (s • ) и X, = X(s»). Пользуясь сублинейностью F „найдем такой опорный линейный оператор А > 0 [ 17 ], что F t(Y ) > AY при любом У е Е к АН, = F,H = = Х Н , где Ht - собственный вектор Ft, отвечающий собственному значению X,. Пусть С - собственный вектор сопряженного оператора А , отвечающий X [36, с. 335]. По лемме 2.3.3.1 найдутся п и т е (0,1] такие, что У = F”( (t) ) и <С, У) = = st. Тогда s„+i = (С, F,(У)> > (C,AY) > а. Поскольку 0 - неподвижная точка оператора F, существует а < т, при котором s„+i (<р(а)) = а. Используя условие (2.3.8), получаем доказательство теоремы.[ ...]
Доказательство. Первая часть утверждения доказана в лемме 2.3.3.1. Вторая часть доказывается дословным повторением последних двух предложений из доказательства теоремы 2.3.3.[ ...]
Доказательство. Ход рассуждений тот же, что и в теореме 2.3.3. Замечание. Если уравнение (2.3.3) определено в одномерном пространстве, то условие (2.3.10) является необходимым и достаточным для существования на положительной полуоси сильно возвратной структуры в нуле.[ ...]
Приведем теперь результат об условиях рождения хаотических режимов в системе (2.3.3). Предположим, что оператор F непрерывно дифференцируем по Фреше и его дифференциал удовлетворяет условию Липшица. Обозначим через W+ = Wu П К ветвь инвариантного многообразия, касающуюся в нуле Но.[ ...]
Пример 2. Рассматривается динамика сообщества хозяин — паразит, заданная моделью (2.3.2). Пусть q(s) — дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям q(s) = 0 при s < 1 — 1/а и q(s) = 1 при s ¿z 1. Проверим выполнение условий теоремы 2.3.6. Неустойчивое инвариантное многообразие задается отрезком прямой ¿(1, Ь1/а,...[ ...]
Последнее условие вместе с неравенством а 2 гарантирует возникновение свойства Ch.[ ...]
Сформулируем экологический смысл данного результата. Пусть каждая особь в популяции жертвы при благоприятных условиях способна оставлять после себя не менее двух потомков. Скорость воспроизводства популяции жертвы убывает достаточно быстро, если размер этой популяции возрастает. При численности сообщества, большей, чем критическая, популяция жертвы не размножается. Тогда в рассматриваемом сообществе возможны практически непредсказуемые взрывы численности, сменяющиеся почти полным исчезновением вида. Например, пусть в непроточном культиваторе выращивается культура бактерии E.Coli. При этом выполняются перечисленные выше условия: число потомков каждой бактерии равно двум и при превышении некоторого уровня численности скорость роста замедляется вплоть до нуля (переход в стационарную фазу). Пусть роль хищника играет бактериофаг, которым заражена бактерия (у хищника одна возрастная группа). Скорость размножения бактериофага пропорциональна числу бактериальных клеток. В такой ситуации у сообщества возможны хаотические изменения численности.[ ...]
Реальная действительность накладывает ограничения на управления, с помощью которых человек пытается воздействовать на живую природу. В большинстве случаев эти ограничения относятся к амплитуде допустимых воздействий и, что значительно более принципиально, к их направлению. Другими словами, в задачах математической экологии фиксированным оказывается знак допустимых управлений. При этом нулевое управление, т.е. отсутствие всяких воздействий, становится граничной точкой. Примером тому служат отлов или отстрел особей без пополнения извне, удаление приросшей биомассы при непрерывном культивировании простейших, укосы, прореживания, внесение удобрений, поливы без осушения и другие агротехнические мероприятия в сельском.хозяйстве.[ ...]
Вернуться к оглавлению