В этом параграфе изучаются условия возникновения колебаний в моделях эксплуатируемых экологических систем. Исследуется бифуркация рождения периодических решений и рассматривается вопрос устойчивости этих решений. Доказывается колебательный характер движений в случае неустойчивости стационарного режима и рассматриваются условия рождения нелокальных колебаний. Полученные результаты применяются к модели биохимической кинетики.[ ...]
Приводимые в этом параграфе результаты касаются ш-мерных систем, сведение которых к классическим двумерным осцилляторам невозможно хотя бы потому, что в моделях динамики численности эксплуатируемых популяций периодические режимы рождаются при размерностях, не меньших трех. Специфика изучаемых систем позволяет модифицировать метод Малкина - Лурье применительно к задачам популяционной динамики и благодаря этому получить для целого класса моделей аналитический критерий устойчивости периодических решений. Основным методом доказательства существования колебательных режимов в изучаемых системах является метод теории бифуркаций при малых изменениях параметров систем. В то же время имеется класс задач, для которых предположение о малости бифуркационного параметра не выполняется. В результате возникают проблемы нелокальной теории колебаний. Привлекая топологические методы, в ряде случаев удается установить факт существования периодического решения даже при нелокальной постановке задачи.[ ...]
По-прежнему будем предполагать неразложимость оператора Fs при всех s < s„ (см. п. 2.1.2) или, что эквивалентно, неразложимость матрицы DxFs(X) = bfi(X, s)ldxj "j j. Напомним, что матрица называется неразложимой, если путем перестановок одноименных строк и столбцов ее нельзя привести к блочно-треугольному виду (см. ниже (3.1.6)) [3].[ ...]
В дальнейшем будем предполагать, что уравнения (2.1.2) и (2.1.3) имеют стационарное решение, и займемся локальным анализом этих уравнений в окрестности стационарной точки. По аналогии с условием (2.2.3) в модели динамики численности с внешними источниками будем предполагать, что лимитирующий фактор оказывает замедляющее воздействие на скорость воспроизводства в стационарной точке, т.е.[ ...]
Отсюда следуют дополнительные критерии устойчивости ”в малом” стационарных решений уравнений динамики численности эксплуатируемых популяций [8, 11]. В некоторых важных для практики случаях они позволяют доказать, что матрица линейного приближения является гурвицевой, т.е. обладает лишь собственными значениями с отрицательной вещественной частью.[ ...]
Предложение 2.2.2. Если фазовое пространство систем (2.1.2) и (2.1.3) двумерно, т.е. т = 2, то матрица линейного приближения (2.2.7) гурвицева при любых ju>0.[ ...]
Доказательство предложения 2.2.2, очевидно, получается из следствия технической леммы 3.[ ...]
Предложение 2.2.3. Матрица линейного приближения (2.2.7) гурвицева при всех ju > 0, меньших некоторого положительного числа е.[ ...]
Определение. Лимитирование является несогласованным к-то порядка, если лимитирующий фактор влияет только на первые / компонент системы, а величина лимитирующего фактора формируется компонентами системы, имеющими номера с (/ + к)-то по т-й т.е.[ ...]
Вернуться к оглавлению