Теорема 2.1.9. Если выполнены условия теоремы 2.1.1 о существовании нетривиального стационарного решения уравнения (2.1.2), то асимптотически устойчивое множество со-предельных точек [23] решений этого уравнения, начинающихся в 0 , не содержит начала координат.[ ...]
Пусть s = ip (X) < 6 при ll XII < е. В силу технической леммы 2 (приложение 1) операторы семейства Fs (X) 10 < s < 6 можно считать положительными. Отсюда по непрерывности имеем /¡(X, s) > (1 - a)f (X, 0) при s < 6, р(Х) < 1 и 1 < i < т.[ ...]
Приведем результат об асимптотической ограниченности или диссипа-тивности решений [29] системы (2.1.2).[ ...]
Если выполнено условие б) и и = 0, то любое решение уравнения (2.1.2) остается ограниченным при всех t > 0.[ ...]
Доказательство. 1. Пусть выполнено условие а). Доказательство следует из ограниченности множества X (ER™ кр(Х) « So» .[ ...]
В системе с внешними источниками точка X = 0, очевидно, не является стационарным решением. Все рещения покидают ее окрестность за конечное время, и поэтому наша задача ограничивается доказательством дисси-пативности решений уравнений (2.1.3). Решение этой задачи достигается почти при тех же условиях, что и в предыдущей теореме.[ ...]
Теорема 2.1.11. Если и > 0 и выполнены условия теоремы 2.1.10, то все решения системы (2.1.3) при достаточно больших Г попадают в ограниченное множество и не покидают его.[ ...]
Таким образом, мы нашли условия, при выполнении которых численность эксплуатируемой популяции независимо от начального состояния попадает в некоторый ограниченный диапазон, в котором она остается во все последующие моменты времени. Следствием этого свойства является существование ограниченного инвариантного множества в фазовом пространстве изучаемых систем [29]. Все решения, начинающиеся в R™ 0, стремятся к нему при t а движения, начинающиеся вблизи этого множества, остаются в его малой окрестности во все положительные моменты времени. Это означает, что имеет место асимптотическая устойчивость инвариантного множества [29]. Если это множество содержится в шаре малого диаметра, то экологическую систему можно считать практически устойчивой.[ ...]
Вернуться к оглавлению