Теорию устойчивости, аналогичную теории Ляпунова, можно построить и для стохастических систем, устроенных таким образом, что случайные возмущения в равновесном положении обращаются в нуль.[ ...]
По поводу связи различных определений устойчивости необходимо заметить следующее. Устойчивость в среднем является весьма слабым требованием, так как даже если среднее значение траекторий близко к стационарному, сами отклонения рассматриваемого решения могут быть достаточно велики и, вообще говоря, не обязаны убывать. С другой стороны, приведенные определения устойчивости по вероятности являются весьма жесткими (во всяком случае для биологических систем), так как здесь от траекторий требуется пребывание в малой окрестности равновесия с вероятностью, близкой к единице. Интересным представляется подход, при котором устойчивость связывается с временем пребывания системы в окрестности, точнее в области .притяжения, стационарного состояния. Соответствующие времена удовлетворяют уравнениям параболического типа, решение которых в общем случае получить трудно. Иногда здесь удается получить интересные результаты и, в частности, применяя метод квазипотенциала, можно оценить при малых возмущениях время выхода траекторий случайного процесса из области притяжения стационарной точки.[ ...]
Пусть Гг = —Г, т.е. имеет место сообщества типа ’’хищник — жертва”. В этом случае первое слагаемое в выражении (7.4) равно нулю и для выполнения условия устойчивости по вероятности равновесного состояния N требуется, чтобы и второе слагаемое не было положительным. Оказывается, что его нижняя граница равна нулю и достигается, если ат = -а. Таким образом (эго имеет место и для нелинейной системы), равновесие вольтерров-ского сообщества типа ’’хищник — жертва” (консервативного по Вольтерра) сохраняет устойчивость пишь при жесткой отрицательной корреляции между случайными воздействиями на связанные виды.[ ...]
Таким образом, когда детерминистская модель сообщества имеет асимптотически устойчивое положение равновесия (сообщество обладает некоторым запасом устойчивости), то оно сохраняет асимптотическую устойчивость (по вероятности) под действием случайных факторов при условии, что норма (обобщенная интенсивность) возмущений не превосходит запаса устойчивости.[ ...]
Заметим, что для исходной нелинейной системы в аналогичных условиях удается показать устойчивость лишь для малых (т.е. с малыми средними и малыми вероятностями больших выбросов) случайных возмущений гауссовского типа.[ ...]
Вернуться к оглавлению