Как уже указывалось, рассмотрение случайного воздействия, связанного с белым шумом, являющимся математической идеализацией процессов с малым временем корреляции, позволяет применить методы анализа процессов диффузионного типа и прийти к качественным (а иногда и количественным) результатам, касающимся поведения моделируемого процесса. К таким результатам относятся в первую очередь получение и анализ функции плотности переходной вероятности p(N, г) из уравнений Колмогорова, изучение стационарных распределений, не зависящих of времени и начальных условий и устанавливающихся при t -+°°, анализ условий устойчивости стационарных решений динамических уравнений. Кроме того, представляет значительный интерес изучение ’’локальных” свойств процесса N(t), а именно: поведение вблизи границ допустимой области изменения переменных, условия вырождения, поведение решений в окрестности стационарных точек. Следует отметить, что термин ’’локальные” свойства применен здесь условно, так как в стохастических системах поведение вблизи границы определяет и характер поведения процесса в целом.[ ...]
Исследование процессов, флуктуации которых вызваны возмущениями с большим временем корреляции, является довольно сложной и во многом еще не решенной задачей. Для диффузионных процессов задачи существенно упрощаются, что связано с отсутствием последействия. Так, в частности, анализ функций плотности переходной вероятности (их удается получить иногда в явном виде) для таких процессов позволяет полностью представить динамику траекторий, а следовательно, указать наиболее и наименее вероятные значения, вычислить интересующие моменты (среднее, дисперсию и т.д.) и проанализировать ряд других особенностей. Даже если не удается получить в явном виде функцию плотности, с помощью вспомогательных приемов можно выявить особенности поведения процесса вблизи особых точек и границ. Эти особенности в некоторых случаях определяют динамику процесса и на достаточно больших интервалах времени.[ ...]
Однако, применяя диффузионный подход, следует помнить о различных способах трактовки исходных уравнений и результатов., а также о границах применимости данного метода. В этом смысле несколько отличаются подходы Ито и Стратоновича к возможным способам получения стохастических уравнений и их интерпретации. Остановимся кратко на этом вопросе.[ ...]
Решить уравнение (4.4) в общем виде, как правило, не удается, однако оператор Ь играет большую роль в исследовании вопросов устойчивости, поиске стационарных распределений и т.п.[ ...]
Вернуться к оглавлению