Поместим теперь волну в движущуюся вместе с ней систему координат (t, % = х — a/at). В этой системе она будет неподвижна и иметь вид у=у(— а?), т.е. представлять собой стационарное (по t) решение исходной задачи. Как и ранее (см. § 2), под устойчивостью волны мы будем понимать устойчивость этого стационарного решения, определяемую по линейному приближению. Поясним это определение.[ ...]
Тогда устойчивость означает, что все Ret» < 0 при условии ограниченности решений (7.3). Если же найдется хотя бы одно такое v, что Re»> > 0, то тривиальное решение (7.1) будет неустойчивым.[ ...]
Из (7.8) сразу видно, что тривиальное решение неустойчиво по отношению к возмущениям с со < 1.[ ...]
Следовательно, здесь можно применить теорему о неявной функции и разрешить в окрестности этого подмножества уравнение Ке/(у, е, е ) =0 для малых е и е’, так что V = р (е , е ) — непрерывная функция своих аргументов. А это означает, что если имеет место устойчивость (или неустойчивость) для е = е = 0, то это свойство сохранится и для отличных.от нуля, но малых е,е .[ ...]
Конечно, эта глава носит фрагментарный характер, поскольку сколько-нибудь полное и математически строгое изложение такой проблемы, как устойчивость, потребовало бы написания отдельной книги, гораздо более ’’математизированной”, чем эта. Само понятие устойчивости, несмотря на почти аксиоматическую, казалось бы, ясность, на самом деле очень многозначно и может пониматься весьма широко: от наиболее развитого понятия линейной устойчивости до очень общего, очень качественного понятия структурной.[ ...]
Что же касается явления, которое мы назвали ’’нерегулярными” волнами, то ясно, что введение зависимости коэффициента диффузии от фазовой переменной резко обогащает множество динамических режимов в моделях, описываемых уравнением нелинейной диффузии.[ ...]
И наконец, ценность методов, позволяющих ответить на вопрос о существованию! волновых решений в системах произвольной размерности и дающих возможность эффективного численного их построения, трудно переоценить. Достаточно, например, напомнить, что эти методы хорошо работают в такой области, как теория автоволновых процессов в активных средах. Пока, правда, основные результаты получены для химических сред с локальными взаимодействиями типа реакции Белоусова-Жаботинского.. Работ же, посвященных приложениям этих методов к сложным экологическим системам к настоящему времени появилось очень мало. По-видимому, это объясняется как сложностью их описания, так и трудностями экологического эксперимента по проверке теоретических результатов.[ ...]
Вернуться к оглавлению