Вернемся теперь к ситуации с тремя точками равновесия: («о>0), (п , 0), (nf, 0) — седло, топологический узел, седло соответственно. Однако в данном случае мы не будем ограничиваться монотонными волнами. Следовательно, точка ’’топологический узел” может быть фокусом, и возможны такие траектории, как, например, изображенная на рис. 32,а (обозначена цифрой 1). Она выходит из точки (п , 0) (фокуса) и попадает по сепаратрисе в седло (и5, 0). Волна, соответствующая данной траектории, имеет вид, изображенный на рис. Ъ2,б. Волна движется справа налево со скоростью Xf. Решение колеблется с угасающей амплитудой вокруг равновесия п . Передний фронт волны имеет мелкую рябь.[ ...]
Траектория, выходящая из фокуса (nj, 0), может попасть и в седло (ио, 0) (см. рис. 33,а). Ей соответствует волна, изображенная на рис. 33,6, причемволна движется слева направо со скоростью X 2 - Рябь здесь возникает на хвосте волны.[ ...]
Наконец, искомая траектория может сделать несколько оборотов вокруг узловой точки («1, 0) и лишь потом попасть в седло («2 > 0) либо в седло (ио, 0). Профиль соответствующей волны будет иметь несколько горбов. Естественно, что эти обороты должны происходить достаточно далеко от узловой точки, т.е. этот эффект носит нелокальный характер.[ ...]
К сожалению, все эти немонотонные волны неустойчивы. Неустойчивость здесь понимается в том смысле, что любое немонотонное решение Щх, О при г будет стремиться либо к монотонной автомодельной волне, либо к постоянной. Кроме того, почти наверняка можно утверждать, что эти волны могут возникнуть только при весьма специальных начальных распределениях.[ ...]
Мы заканчиваем наше, может быть, излишне подробное рассмотрение проблемы волн в изолированных одиночных популяциях. Гипотеза автомодельности позволила нам перейти от задачи для уравнения в частных производных к задаче качественной теории для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на плоскости, которая имеет хорошо развитый аналитический аппарат. Многие из результатов, приводимых в этой главе, хорошо известны, но всякий раз нас интересовал не столько сам формальный результат, сколько возможность его разумной экологической интерпретации.[ ...]
Возникает естественный вопрос: каким образом можно использовать эту технику для решения конкретных экологических задач? Мы постараемся ответить на него в гл. III, но предварительно можно сказать, что навряд ли можно от этих моделей требовать каких-либо точных количественных оценок — сами модёли сильно упрощены по сравнению с реальными ситуациями, но для качественного анализа они вполне подходят.[ ...]
И наконец, мы лишь коснулись вопроса об устойчивости волн. Строго говоря, сама волна представляет собой переходный процесс от некоторого изначально неустойчивого пространственного распределения популяционной плотности к устойчивому конечному распределению, равномерному в пространстве. Конечно, с биологической точки зрения более или менее очевидно, что либо популяция заполняет весь ареал, достигая численности, равной емкости среды в каждой точке, либо она вымирает. Но краевые условия (нуль на одном конце и ненулевая константа на другом) заставляют искать другое, в известном смысле, стационарное, автомодельное решение. И та же гипотеза автомодельности позволяет ставить вопрос об устойчивости формы волны по отношению к некоторому классу возмущений.[ ...]
В известной степени проблема устойчивости здесь тесно связана с проблемой сходимости тех или иных типов начальных распределений к автомодельной волне, форма которой инвариантна сдвигу по времени. Конечно, можно рассмотреть эту задачу по-другому, в линейной постановке, линеаризовав исходное уравнение в частных производных около автомодельного решения, и затем изучить поведение решения полученной линейной задачи при t - ■ >. Однако это приводит к очень громоздким выкладкам, и мы сочли нецелесообразным помещать их здесь. Более подробному рассмотрению проблем устойчивости будет посвящена гл. IV.[ ...]
Вернуться к оглавлению