Рассмотрим теперь следующую ситуацию: на оси п располагаются последовательно три точки равновесия: седло, топологический узел, седло. Обозначим их через п , п соответственно (рис. 29).[ ...]
Мы выделяем монотонное решение из следующих соображений. Во-первых, если начальное распределение плотности заключено между двумя положениями равновесия так, что и <и(х, 0) <Иг, то в силу принципа максимума для параболических уравнений решение п(х, ?) будет оставаться в тех же границах при любом ?>0. Действительно, при увеличении п(х, 0) решение п(х, г) уравнения (15.1) не уменьшается. Доказательство этого факта можно найти в классической работе Колмогорова, Петровского и Пискунова. Тогда если и — состояние равновесия, то у (п ) = 0 и и является решением. Поэтому из неравенства п(х, 0) > п следует неравенство для решений п(х, О > п .[ ...]
А это и доказывает наше утверждение.[ ...]
Перейдем теперь ко второму случаю, когда волна переброса идет от Ио к п2 , т.е. траектория, соответствующая монотонному автомодельному решению, идет из стационарной точки (и5, 0) -седла — в седловую точку («2 ,0).[ ...]
При непрерывном уменьшении скорости X сепаратриса р (и) прижимается к оси и, а сепаратриса Рг (п), наоборот, отодвигается. Траектории, идущие по данным сепаратрисам, в силу принципа максимума будут вести себя аналогичным образом. При определенном единственном значении X эти траектории совпадут, и мы получим искомую интегральную кривую; X и есть скорость волны переброса из и 5 в и 5 (рис. 30).[ ...]
Рисунки к данной главе:
| Фазовый портрет системы (15.3) в случае волны переброса от п к п . Траектория 1 соответствует скорости |
 |