Доказательство положительной инвариантности приведено в книге [15]. Доказательство монотонности является тривиальным следствием леммы сравнения [33]. Доказательство положительной однородности состоит в переходе от дифференциального уравнения к его интегральному аналогу и использовании процедуры последовательных приближений для построения решения.[ ...]
Содержательный смысл вышеупомянутых свойств состоит в следующем: во-первых, решения уравнений во все моменты времени принимают лишь неотрицательные значения, и поэтому модель не приводит к бессмысленным результатам, во-вторых, на стадии нелимитированного воспроизводства система с большей начальной численностью за конечное время достигает больших размеров, и, в-третьих, одинаковое изменение масштаба измерения для всех компонент вектора состояния нелимитированной экологической системы не изменяет общего характера ее динамики.[ ...]
Может случиться, что экологическая система содержит меньшую подсистему, функционирование которой не зависит от ее остальных компонент. Исследование таких систем естественным образом распадается на два этапа. Вначале проводится анализ динамики независимой подсистемы.[ ...]
Определение [22, 24]. Пусть даны векторы I и 7, удовлетворяющие условию X > У > 0. Введем в рассмотрение множество индексов N(X, У) = = Л / > У; ) ■ Квазимонотонный оператор Р = (/1, /2, /т) : К + называется неразложимым, если для любой пары векторов X У имеет место неравенство /, (X) Ф //(У) при некотором г 6 Ы(Х, У). Здесь и всюду далее неравенство векторов понимается покомпонентно.[ ...]
Неразложимость правой части уравнения (2.1.1) позволяет усилить свойство монотонности. Покажем, что увеличение хотя бы одной компоненты вектора состояния системы в начальный момент времени приводит к увеличению через конечный промежуток времени всех компонент, составляющих данную экологическую систему.[ ...]
Если экологическая система неразложима, то независимо от соотношения численностей особей разных видов в начальный момент времени при достаточно длительном периоде размножения общее число особей экспоненциально увеличивается, а отношение численности любой компоненты экосистемы к общему числу особей устанавливается постоянным. Таким образом, достигается состояние, называемое в математической экономике сбалансированным ростом. Строго говоря, это означает следующее [22, 24].[ ...]
Очевидно, что Н является собственным вектором оператора Р, которому отвечает собственное значение X. Свойство (2.1.5) позволяет определить следующее понятие.[ ...]
Определение. Любой неотрицательный вектор, принадлежащий лучу сН (с> 0), называется точкой сбалансированного роста [22, 24].[ ...]
В соответствии с результатом (2.1.5) заключаем, что при всех х < определено отображение 6 - , Н5, сопоставляющее каждому фиксированному значению уровня лимитирования х собственный вектор и собственное значение нелинейного оператора Р5(Х).[ ...]
Вернуться к оглавлению