Возникновение цикла в системе (3.1) при п = 4 наводит на мысль, что в результате аналогичной бифуркации цикла будут возникать и при п > 4. Рассуждение будем вести по индукции.[ ...]
Предположим также, что все корни простые — естественное следствие гипотезы грубости.[ ...]
Очевидно, что (5.2) отличается от (3.1) лишь сдвигом индексов /- ■/+1. Согласно нашему предположению, при /?„ (с , ..., а„; т2, ..., т„+1) < 0 л-мерная система (5.2) имеет предельный цикл, возникший в результате изменения бифуркационного параметра С.[ ...]
Корни Х°, / = 1, ..., п многочлена А , так же как и корни X,-, / = 1, ..., п + 1, многочлена Ап+1, зависят от параметра С; кроме того, корни X,- зависят еще от е, так что X,- = Х, (е, С). Естественным следствием гипотезы грубости является предположение, что все они простые.[ ...]
Л е м м а 1. Для любого б > 0 существует такое е 1 > 0, что для всех ее [0, 61] и Се (С„ — €1, С% + е1) корень Х, (е, С) лежит в 5-окрестности корня X,-, / = 1, п. Предполагается, что корни пронумерованы соответствующим образом.[ ...]
По сути дела, мы доказали, что при С, близких к бифуркационному значению С„ и при достаточно малых е каждый из первых п корней многочлена А„+1 лижет вблизи от соответствующего корня Л°.[ ...]
Этим мы показали, что новый (п+ 1)-й корень, который уже не обязан находиться в окрестности одного из старых корней Х?(1 = 1, .. ., п), при малых е лежит далеко влево от мнимой оси, а это означает, что он не будет разрушать устойчивость, существовавшую в старой (е = 0) системе. А поскольку он лежит на действительной оси, то не будет возникать и каких-то новых колебаний.[ ...]
Ранее мы доказали, что бифуркационный цикл возникает в системе (3.1) при и = 4. Следовательно, при определенных значениях а0 аналогичный цикл возникает при п = 5 и т.д. Отсюда можно сделать вывод, что в пространстве параметров (С, а, т) существует область Г2 такая, что при С, a¡, m¡ £ Г2 (г = 1, ... , и) система (3.1) при п > 4 имеет периодические решения.[ ...]
Вернуться к оглавлению