В основе любой математической теории устойчивости лежит та или иная концептуальная модель устойчивости. Когда мы имеем дело с устойчивостью по Пуанкаре, то модель устойчивости следующая: имеется некоторое равновесие, в котором находится Ьистема. В некий момент времени мы выводим ее из этого состояния и затем предоставляем самой себе. Если система стремится вернуться в это состояние, все более и более приближаясь к нему, то мы говорим, что равновесие устойчиво. Часто это свойство переносится на систему, тогда говорят, что система устойчива. Устойчивость по Ляпунову уже более широкая концепция: состояние системы считается устойчивым, если при некоторых начальных возмущениях система все последующее время остается в определенной окрестности этого состояния. Устойчивость по Лагранжу трактуется еще менее ограничительно: требуется лишь ограниченность траекторий, т.е. чтобы система не выходила за пределы некоторой области. В этой концепции исчезает понятие устойчивого состояния, но легко вводится понятие устойчивой системы. Благодаря этому концепция устойчивости по Лагранжу удачно соотносится с концепцией экологической стабильности.[ ...]
Это рассмотрение можно было бы продолжать и дальше, но уже рассмотренного достаточно, чтобы сделать вывод, насколько перегружен сам тремин ’’устойчивость”, казалось бы, интуитивно совершенно ясный, но при своей математической формализации могущий приводить к различным математическим моделям.[ ...]
Все сказанное выше полностью относится и к проблеме устойчивости популяционных волн. В первой главе мы уже останавливались на этой проблеме, но фактически лишь на концептуальном уровне или приводя только конечные результаты. В этой главе мы сделаем это более последовательно и подробно.[ ...]
И, наконец, несколько слов о существовании автомодельных волновых решений в системах произвольной размерности. Рассматриваемые до сих пор задачи имели размерность либо один, либо два. Возникает естественный вопрос: а что же можно сказать о волнах в задачах произвольной размерности? Оказывается, что в том случае, когда система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая локальные взаимодействия в сообществе, имеет, например, цикл, то при определенных ограничениях на матрицу коэффициентов диффузии исходная система уравнений в частных производных параболического типа может иметь решение типа автомодельных волн.[ ...]
Вернуться к оглавлению